复杂系统跨越临界点时所导致的结构和功能突变，是系统科学关注的一个重要科学问题。近期，北京师范大学自然科学高等研究院复杂系统国际科学中心教授狄增如课题组，在紧密的国际学术合作基础上，对空间嵌入网络中的k-core渗流相变与临界现象进行了深入研究。结果发现，微观层面微小外部扰动，有可能导致整个系统的彻底崩溃。这一发现揭示了空间嵌入系统的极端脆弱性，为设计更具鲁棒性的空间网络提供了重要的理论依据。
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单元之间的紧密连接，是实现复杂系统功能的基本保障，k核结构就是描述网络连接状况的一个重要概念。核结构是网络中的一个子图，其中每个节点至少与子图内的个其他节点相连。这一特性确保每个节点保持某个最低数量的连接，对于交通网络、通信基础设施、社会系统和生物系统等实际系统的稳定性、韧性和整体效率至关重要。而核渗流的研究，关心网络系统在多大程度的随机破坏下，网络中的核结构仍能存在，寻找网络中核存在的临界阈值，并研究其附近的临界行为，是探讨网络系统结构突变的重要方法。
许多实际网络系统是嵌入在空间结构之上的，包括大脑中的神经网络、电网或通讯网络等。课题组重点关注了空间嵌入网络系统上的k核渗流以及与节点故障相关的相变。研究发现，空间网络系统表现丰富的相变与临界行为，具有一阶、二阶或混合阶坍缩转变。更为有趣的是，课题组发现了一个新的亚稳态相，在这个相中，当外界扰动攻击的尺度大于临界尺寸时，微观尺度的局部攻击可以自发地传播，产生级联失效，直至系统完全崩溃，类似于许多复杂系统中的成核行为；如果攻击的尺度小于临界尺寸，则系统不会崩溃。
进一步的理论研究发现，决定这四种突变类型的关键变量是两个邻居之间连接的特征几何长度，它实际上决定着空间网络系统级联失效的机制。课题组详细研究了这些机制，发现它们可以解释系统状态变化的相图，包括亚稳相的特殊性质：与系统尺寸无关的局部微观扰动，可以导致体系的宏观相变。
亚稳态损伤传播示意图。底部的破坏小于临界尺寸时，不会扩展；而中部大于临界尺寸的破坏，会随时间推移造成整个系统的崩塌。
这一研究结果表明，空间嵌入网络（如关键基础设施中的网络）可能比先前理解的更加脆弱，微观尺度的局部攻击可能导致整个空间系统的宏观破坏。由于大部分实际网络都具有空间结构性质，这一渗流理论的新结果，不仅在统计物理和网络科学领域具有理论意义，也对于我们设计和维护更加鲁棒的空间网络系统具有重要的应用价值。
该研究成果7月12日被Nature Communications杂志接收并发表，题为“Nucleation phenomena and extreme vulnerability of spatial k-core systems”。北京师范大学系统科学学科作为第一单位，与以色列巴伊兰大学等多家学术单位合作完成研究工作。北师大复杂系统国际科学中心、系统科学学院的博士生薛乐洋为论文第一作者，美国罗格斯大学教授Lazaros Gallos、以色列巴伊兰大学教授Shlomo Havlin以及北京师范大学教授狄增如为论文的共同通讯作者。